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中科院年轻学者证明自守形式领域重要猜想,函

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中科院年轻学者证明自守形式领域重要猜想,函

当数学猜想遇到论证“骑士”
中科院年轻学者证明自守形式领域重要猜想

近日,中国科学院数学与系统科学研究院研究员孙斌勇在L-函数特殊值算术性质研究方面取得突破,证明了高阶Rankin-Selberg L-函数特殊值非零假设,该成果以The nonvanishing hypothesis at infinity for Rankin-Selberg convolutions 为题在线发表于国际数学期刊Journal of the American Mathematical Society

在今年6月份公布的“国家自然科学奖”初评通过名单中,中国科学院数学与系统科学研究院研究员孙斌勇的“典型群表示论”项目被评为国家自然科学奖二等奖。

本报见习记者 冯丽妃在数学王国里,有一群“预言家”,他们基于已知理论提出猜想;同时又有一批“骑士”,他们对猜想进行论证,捍卫真理、推动理论建树。孙斌勇属于后者。2008年,孙与合作者朱程波在阿基米德域情形证明了关于典型群无穷维表示的重数一猜想。今年,该项工作终于被国际顶尖刊物美国《数学年刊》接受,即将发表。这不奇怪,因为一篇高质量数学论文从投稿、审稿到发表,往往需要花费数年时间。国内一些数学家认为,这是继华罗庚的工作之后,中国人的论文在自守形式领域再次引起国际瞩目。即使目前尚未正式发表,其论文已在国际上产生了很大的反响——目前,其预印本在Google Scholar中已被引用超过20次。骑士之路最近,《科学时报》记者走进中国科学院数学与系统科学研究院,见到了孙斌勇。这位证明出国际上赫赫有名的重数一猜想的“骑士”出人意料地年轻。银边金丝眼镜,浅灰色运动上衣,他给人的印象阳光而又安静。孙斌勇研究的自守形式与李群表示理论是当代数学非常重要的研究领域。上世纪50年代,由华罗庚领导的研究团队在国际上取得令人瞩目的成就;60年代,国际上langlands纲领的提出使自守形式与表示理论得以日新月异地发展,而国内该领域的研究则陷入中断。直到上世纪90年代,算术几何、自守形式与表示理论等数学研究重新受到国内重视,励建书、张寿武、江迪华等一批在国际上取得成就的华人数学家被聘请回国或受邀组织相关学术活动,使国内相关研究开始从积弱重返夯实。国内数学环境的变化使孙斌勇大大受益。在他就读大学期间,浙大先后邀请了谭琳、励建书等海外杰出校友回校讲学,使他首次接触到李群代数的知识。不久,时任浙大数学系主任的陈叔平推荐他参加了著名数学家Borel和莫毅明在香港大学组织的李群系列课程的系统学习;此后,他师从励建书获得香港大学博士学位。2007年,在美国访问的孙斌勇遇到他的另一位“贵人”——明尼苏达大学的江迪华教授。江迪华也是中科院数学与系统科学研究院的杰出访问教授。在其指导下,孙斌勇开始了与重数一猜想相关的一系列问题的研究。“江教授的Gelfand—Kazhdan 判别法对我后来的论证起到了关键作用。”他说。2008年,孙斌勇访问了新加坡数学会会长、新加坡国立大学教授朱程波。因为朱在与重数一猜想紧密相关的广义函数理论方面有过深入研究并取得突出成果,经过半年的紧密合作,以及通过对一些广义函数进行细致分析,孙斌勇和朱程波终于成功证明了重数一猜想。迷时师渡 悟时自渡“这是一个极好的研究结论。阿基米德域的情形涉及到难度更大的实数分析,该论文所采用的研究方法与AGRS的研究方法有很大差别。在我看来,文章所用的方法是新颖且有力的……”国际顶级数学杂志《数学年刊》(Ann. of Math.)审稿人在评语中说。2009年,孙斌勇紧接着证明出由Prasad在上世纪90年代提出的关于辛群的类似猜想,从而完成了典型群重数一猜想在所有情况的证明。“重数一定理的完全证明为典型群表示及其L-函数算术性质的进一步研究奠定了基础,已被很多著名数学家引用。”中科院数学院研究员王跃飞评价说。此外,孙斌勇还在其他方面取得了不少重要成果,完成20余篇论文,发表在多个国际重要数学杂志上。“孙斌勇并不只在国内非常突出,他在短短几年作出这样的成绩,是国际同行都非常羡慕的。”江迪华说,“‘迷时师渡,悟时自渡。’一个年轻的学者可以达到这样的深度和高度,除了我们给他一些引导和帮助以外,和他自身的努力和天赋也是分不开的。”而谈及自己过往的成绩,孙斌勇很不健谈,他只说自己“运气好”:“逃脱”高考竞技场,直接被保送到浙江大学数学系;之后在香港科技大学拿博士学位、到瑞士联邦理工学院做博士后都很顺利;接着平稳过渡到中科院数学院工作。“我因此避开了择业期的阵痛。”他淡淡地说。去年,孙斌勇入选第二届“陈景润未来之星”计划。对于他来说,数学是工作,也是兴趣。“数学研究需要扎实的基础,要有耐心。我发现我现在比读书的时候要用功,并且越来越用功了。”孙斌勇笑着说。Langlands纲领、L-函数与典型群重数一猜想Langlands纲领是当代数学中的“大工程”。它产生于20世纪中叶,是数学中一系列影响深远的“预言式”构想,包括数论、代数几何、表示论、调和分析等存在深刻联系的研究领域,是21世纪最大的数学难题之一,吸引了大批杰出数学家的研究。其中,L-函数是该纲领中不同数学领域联系的纽带,也是该纲领的核心研究对象。上世纪80年代提出的典型群重数一猜想是L-函数研究中的基本问题之一。2007年Aizenbud、Gourevitch、Rallis、Schiffmann四人证明了该猜想在非阿基米德域情形成立。孙斌勇与朱程波此次则是在阿基米德域情形证明了此猜想。《科学时报》 (2011-11-23 A2 综合)

L-函数特殊值的算术性质是Langlands纲领,特别是算术代数几何的核心问题之一。高阶Rankin-Selberg L-函数特殊值的算术性质研究中有一个被称为非零假设的致命障碍。这个假设最早由以色列科学院、美国科学院院士D.Kazhdan和美国科学院院士B.Mazur在上世纪70年代提出,它断言作为分母出现在L-函数特殊值表达式中的一个局部zeta积分非零。

典型群表示论是当代数学最核心的内容之一,广泛应用于数学和理论物理的各个分支中。上次该领域的获奖者是我国著名数学家华罗庚,于1956年获得首届国家自然科学奖一等奖。

非零假设对于高阶L-函数特殊值算术性质研究和通过Rankin-Selberg方法及模符号构造高阶p-adic L-函数至关重要。近年来,许多关于L-函数特殊值的结果基于非零假设成立,如:D.Kazhdan, B.Mazur, M. Harris等的至少十几篇文献中的结论都是在非零假设成立的基础上证明的。

时隔62年,继华罗庚之后,中国数学家在典型群方面的成果再一次引起了国际瞩目。孙斌勇的工作被国际同行称作“孙的突破”“该领域的基本定理之一”“已成为众多国际数学家工作不可替代的基础”。

当n=2时,该假设被著名数学家E. Hecke证明。当n=3时,该假设被B.Mazur, H. Kasten和C.G. Schmidt等证明。在前人工作的基础上,孙斌勇利用自己博士学位论文的部分结果以及与合作者证明的典型群重数一定理(B. Sun, C.B. Zhu, Annals of Mathematics, 2012)完成了这个假设的证明。

孙斌勇刚过不惑之年,在数学院,像他一样作出具有国际影响力重大成果的中青年数学家共有数十人之多。

哥伦比亚大学教授图片 1图片 2图片 3M. Harris等人在其论文中称这项工作为“孙的突破”(Sun’s breakthrough),认为这项工作使得L-函数“特殊值整个领域更加引人瞩目”。M. Harris在ICM 2014的45分钟报告中指出:由于非零假设的证明,人们可以预计L-函数特殊值这个问题将在近年得到快速发展。Journal of the American Mathematical Society 的审稿人指出非零假设是这个方向“所有工作中的一个根本难点”。

12月,数学院迎来了她20岁生日。20年来,数学院立足数学与系统科学两大领域,面向国际学科前沿和国家战略需求,组建以优秀青年科研人员为骨干的研究团队,针对重大数学前沿问题进行攻关,作出了原创性、突破性和关键性的重大理论与应用成果,也造就了一大批具有国际重要影响的学术带头人和杰出人才。

论文信息:Binyong Sun, The nonvanishing hypothesis at infinity for Rankin-Selberg convolutions, Journal of the American Mathematical Society, online.

大师从这里走出

时间回溯到上世纪50年代,数学研究所在筹备成立之初,就把人才培养放在了首要位置。当时在全国范围内以及海外华裔学者中广揽人才,选拔优秀青年学子到数学研究所做研究实习员。

为出成果出人才,数学所早期还组建研究团队、开设讨论班。开设的线性代数与群论、微分方程、数论等讨论班,由华罗庚亲自指导。

先后以研究实习员或助理研究员身份参加讨论班的王元、潘承洞、陈景润在哥德巴赫猜想方面取得了世界瞩目的成果;冯康独立于西方创立了有限元方法,首创辛几何计算方法并获得1997年国家自然科学奖一等奖;吴文俊在数学机械化方面作出了开创性成果,获得了首届国家最高科学技术奖;杨乐和张广厚首次找到了函数值分布理论中亏值和奇异方向之间的深刻联系,该成果被称为“杨张理论”……

从大师时代留下的传统一直延续到今天,数学院每天都有高质量的讨论班,不定期会有国内外高水平专家主讲的学术论坛,带动青年学者和学术发展,无数灵感在讨论中闪现迸发。

如今,讨论在数学院更是不受时间空间所限。即使在深夜,数学院办公楼和实验室里仍灯火通明,回荡着导师与学生讨论问题的声音;在数学院的大楼,无论是走廊,还是科研人员办公室都有至少一块黑板,这为学生和研究人员随时随地交流提供了更多的公共空间。

20年来,数学院创造辉煌历史的同时,也形成了优秀而深厚的学术传统。这里,是数学爱好者心向往之的地方。

不拘一格降人才

中科院院士王元告诉《中国科学报》:“中国在数学领域做了很多事情,数学研究不会一下子有很多成果,要慢慢来,我对中国数学的发展非常有信心。”

数学院新生代的数学家们没有辜负他的期望。

1998年12月,数学研究所、应用数学研究所、系统科学研究所、计算数学与科学工程计算研究所四所整合成立数学与系统科学研究院,科研、人才优势更为集中,数学院开启了“组团作战”,攻坚克难的新局面。

孙斌勇所在的“算数代数几何卓越创新国际团队”围绕朗兰兹纲领、同余数猜想、BSD猜想和黎曼猜想等数学“未解之谜”,会聚了该领域的杰出中青年人才,他们平均年龄38岁,是国际上同领域最强的青年研究组之一。

自2005年进入中科院数学所工作以来,孙斌勇致力于典型群无穷维表示论中重大问题的研究,并取得了突破性进展。尤其突出的是,在21世纪最重大的数学难题之一朗兰兹纲领研究方面,他和合作者解决了典型群重数一猜想,以及典型群Theta对应理论中三个最基本问题:重数保守猜想、守恒律猜想和对偶猜想,这些成果为相关L函数理论奠定了基础。2017年,他又以自己博士论文里的结果为基础,证明了上个世纪70年代著名学者提出的L-函数非零假设。

“数学院有着浓厚的学术氛围,选拔人才很有魄力。”孙斌勇现已是朗兰兹纲领方面的学术带头人,而他加入数学院时却只有一篇博士毕业论文,且尚未发表。他的学术潜力得到了张寿武、徐晓平等多位数学家的认可。他回忆,“时任数学所所长周向宇院士只与我见面聊了聊,也没有很正式的面试”。

数学院充分发挥国内外顶级数学家引荐青年人才的作用,不看论文、不看帽子,只看学术潜力。团队中郑维喆、田一超、申旭、万昕、付保华等大部分青年学者都是通过这种方式被引入数学院,他们在各领域都取得了为国际同行所认可的重要成果。

心无旁骛为科研

数学科学研究需要大量的前期知识积累,需要科研人员全身心地投入。记者在采访中获悉,数学院能做的就是创造“不干扰”的环境,给科研工作充足稳定的支持,给人才成长足够的自由,以此来吸引人、留住人。

研究员田野是该团队的核心成员之一。2012年,田野在已有千余年历史的同余数问题研究中取得重大突破,并首次给出了美国克雷数学研究所公布的千禧年七大数学难题之一“BSD猜想”的答案线索,这项成果发表在《美国科学院院报》上。该领域著名学者、剑桥大学约翰·科茨教授在《美国科学院院报》上专门撰文评论:“他的研究是这个古老问题的一个重要里程碑。”

事实上,这是田野蛰伏数年才取得的成果。2006年,他以“百人计划”引进回国,将近5年时间,他都没有获得满意的结果。“那段时间非常低落”,田野坦言,他选择的方向与之前有较大跨度,但数学院没有任何限制。“只要是好的问题、深刻的问题,数学院都会给予最大的鼓励和支持。”

2010年“百人计划”项目结束,但研究还未取得重要进展。中科院院士、数学家杨乐申请了专项科研经费,支持田野继续作研究,这才有了2年后震动国际数学界的重大成果。

数学院有关负责人表示,一直以来,对于开拓性的研究或新思想、独树一帜的研究,数学院会给予特别支持。

同是这一团队的付保华在2008年回到北京之前,是CNRS(法国国家科学研究中心)的研究员。他在代数几何领域,尤其是在全纯辛几何的研究以及一般Fano簇的研究方面取得了一系列重要成果。很早就获得国家杰出青年学者科学基金,2018年入选“万人计划”领军人才。

数学院在朗兰兹纲领和同余数问题的研究工作被列入中科院“十二五”25项代表性重大科技成果之中。

以田野、孙斌勇和付保华等为学术带头人的“算数代数几何卓越创新国际团队”现在已是国际上很有影响的一个团队,已经有能力吸引大量的国际优秀青年学者来从事博士后研究和资深学者开展合作研究。

(原载于《中国科学报》 2018-12-25 第1版 要闻)

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